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Opérateurs logiques et tables de vérité

Construction et utilisation de tables de vérité.

Tables de vérité des opérateurs élémentaires

Le ET, le OU et le NON.

aba OU b
Faux Faux Faux
Faux Vrai Vrai
Vrai Faux Vrai
Vrai Vrai Vrai
aba ET b
Faux Faux Faux
Faux Vrai Faux
Vrai Faux Faux
Vrai Vrai Vrai
aNON a
Faux Vrai
Vrai Faux

Tables de vérité de formules complexes

Définissons un nouvel opérateur, nommé op1 et défini par :

op1(a,b) = (a ET (NON b)) OU ((NON a) ET b)

Construisons la table de vérité de cette formule. La technique à suivre est la suivante :

  1. Construire une colonne pour chacune des variables (ici il y en a deux, a et b).
    ab
       
  2. Ajouter dans le tableau une ligne pour chaque toutes les valeurs possibles des variables. Dans le cas général où la formule contient n variables, il y aura 2n lignes. Nous avons donc maintenant 4 lignes dans notre tableau :
    ab
    Faux Faux
    Faux Vrai
    Vrai Faux
    Vrai Vrai
  3. On ajoute ensuite une colonne pour les sous-expressions de la formule, la dernière colonne correspondant à la formule complète. Cette fois, le nombre de colonnes est libre, fonction de la facilité que l'on a à évaluer des expressions complexes. Pour op1, on pourra par exemple avoir :
    ab NON a NON b a ET (NON b) (NON a) ET b op1(a,b)
    Faux Faux          
    Faux Vrai          
    Vrai Faux          
    Vrai Vrai          
  4. Il reste à remplir chaque case, c'est-à-dire à établir la valeur de chacune des sous-expressions en fonction des colonnes précédentes (et en particulier des valeurs des variables). Nous obtenons finalement :
    ab NON a NON b a ET (NON b) (NON a) ET b op1(a,b)
    Faux Faux Vrai Vrai Faux Faux Faux
    Faux Vrai Vrai Faux Faux Vrai Vrai
    Vrai Faux Faux Vrai Vrai Faux Vrai
    Vrai Vrai Faux Faux Faux Faux Faux

En conclusion, la table de vérité de notre nouvel opérateur est :

aba op1 b
Faux Faux Faux
Faux Vrai Vrai
Vrai Faux Vrai
Vrai Vrai Faux

Application : équivalence de deux formules

Considérons maintenant l'opération op2 définie par

op2(a,b) = (a OU b) ET ((NON a) OU (NON b))

et calculons, de la même manière que précédemment sa table de vérité :

a b NON a NON b a OU b (NON a) OU (NON b) op2(a,b)
Faux Faux Vrai Vrai Faux Vrai Faux
Faux Vrai Vrai Faux Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Faux Vrai Vrai Vrai Vrai
Vrai Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux

Plus succintement,

a b a op2 b
Faux Faux Faux
Faux Vrai Vrai
Vrai Faux Vrai
Vrai Vrai Faux

Il apparaît que, quel que ce soit a et b, les résultats de op1 et op2 sont identiques et calcule un même opérateur que l'on peut identifier comme le OU-exclusif.

Le résultat du OU-exclusif sur deux nombres identiques est nécessairement un zéro.

a = 10101110
b = 10101110
a OU-exclusif b = 00000000
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